Die Schwingungsstudie einer Sandwich-Konusschale mit einem gesättigten FGP-Kern

Jun 04, 2023

Wissenschaftliche Berichte Band 12, Artikelnummer: 4950 (2022) Diesen Artikel zitieren

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In dieser Arbeit wird die freie Schwingung einer kegelstumpfförmigen Sandwichschale mit einem gesättigten, funktional abgestuften porösen Kern (FGP) und zwei gleichen homogenen isotropen Deckschichten analysiert. Das mechanische Verhalten des gesättigten FGP wird auf der Grundlage der Biot-Theorie angenommen, die Schale wird mithilfe der Scherverformungstheorie erster Ordnung (FSDT) modelliert und die maßgeblichen Gleichungen und Randbedingungen werden mithilfe des Hamilton-Prinzips abgeleitet. Es werden drei verschiedene Porositätsverteilungsmuster untersucht, darunter ein homogenes gleichmäßiges Verteilungsmuster und zwei inhomogene symmetrische. Die Porositätsparameter in den genannten Verteilungsmustern werden reguliert, um sie in der Masse der Schale gleich zu machen. Die Bewegungsgleichungen werden exakt in Umfangsrichtung über geeignete Sinus- und Kosinusfunktionen gelöst, und eine numerische Lösung wird in Meridianrichtung unter Verwendung der Differentialquadraturmethode (DQM) bereitgestellt. Die Präzision des Modells wird bestätigt und die Einflüsse mehrerer Parameter wie Umfangswellenzahl, Dicke des FGP-Kerns, Porositätsparameter, Porositätsverteilungsmuster, Kompressibilität der Porenflüssigkeit und Randbedingungen auf die Eigenfrequenzen der Schale werden untersucht . Es zeigt sich, dass die höchsten Eigenfrequenzen normalerweise erreicht werden können, wenn sich die größeren Poren nahe der mittleren Oberfläche der Schale befinden und in jedem Schwingungsmodus ein besonderer Wert des Porositätsparameters vorhanden ist, der zu den niedrigsten Eigenfrequenzen führt. Daraus lässt sich schließen, dass in den meisten Fällen die Eigenfrequenzen abnehmen, wenn die Dicke des FGP-Kerns zunimmt. Darüber hinaus ist durch die Verringerung der Kompressibilität des Porenfluids ein geringfügiger Anstieg der Eigenfrequenzen zu beobachten.

Aufgrund der zahlreichen Verwendung der konischen Schalen in verschiedenen technischen Anwendungen wie Luft- und Raumfahrt und Maschinenbau, Hochleistungs-Flugzeugtriebwerken, Hochgeschwindigkeits-Zentrifugalabscheidern und Gasturbinen wurde eine beträchtliche Anzahl von Untersuchungen zur mechanischen Analyse vorgelegt solche Strukturen, in letzter Zeit. Sofiyev1 untersuchte die Stabilität und freie Schwingungsanalysen heterogener kegelstumpfförmiger Verbundschalen, die mit Kohlenstoffnanoröhren (CNTs) verstärkt waren und einer axialen Belastung ausgesetzt waren. Er untersuchte die Auswirkungen des Prozentsatzes der CNTs und der Heterogenität auf die Knick- und freien Schwingungseigenschaften der Hülle. Die freien Schwingungseigenschaften rotierender kegelstumpfförmiger Polymerschalen, die mit Graphen-Nanoplättchen (GNPs) angereichert sind, wurden von Afshari2 untersucht. Er zeigte, dass die Abfolge der Schwingungsmoden durch die Variation des Halbscheitelwinkels beeinflusst werden kann. Mithilfe analytischer und numerischer Techniken sowie experimenteller Tests untersuchten Zarei et al.3 die freie Schwingungsstudie konischer Schalen, die durch Kegelversteifungen versteift wurden. Sie untersuchten den Einfluss der geometrischen Eigenschaften der Schale auf die Eigenfrequenzen einer solchen Struktur. Yousefi et al.4,5 untersuchten das erzwungene und freie Schwingungsverhalten dreiphasiger kegelstumpfförmiger Platten und Schalen aus CNT/Polymer/Faser. Sie fanden heraus, dass die größere Länge und die größeren Umarmungs- und Halbscheitelwinkel zu kleineren Eigenfrequenzen führen. Um diese Arbeiten abzuschließen, setzten sie die Partikelschwarmoptimierung ein, um die besten Werte für die Massenanteile der CNTs und Fasern sowie die Ausrichtung der Fasern zu finden, um die Kosten zu minimieren und die Grundfrequenz des dreiphasigen CNT/Polymer/Faser-laminierten Kegelstumpfes zu maximieren Paneele6. Aris und Ahmadi7 untersuchten die Analyse der nichtlinearen Resonanz von FGM (funktional abgestuften Materialien), kegelstumpfförmigen Schalen, die einer externen harmonischen Anregung und thermischen Belastung ausgesetzt waren. Sie untersuchten die Auswirkungen der geometrischen Eigenschaften und der Temperatur der Hülle auf die nichtlinearen Schwingungseigenschaften der Hülle. Unter Einbeziehung der Agglomeration der CNTs wurde die Freischwingungsstudie einer CNT-verstärkten, sich drehenden, kegelstumpfförmigen Hülle von Afshari und Amirabadi8 untersucht. Sie zeigten, dass eine Variation der Rotationsgeschwindigkeit die Abfolge der Schwingungsmoden verändern kann. Die Vibrationsstudie kombinierter konisch-rippiger zylindrisch-konischer Schalenstrukturen wurde von Zhang et al.9 untersucht. Sie bestätigten die Präzision ihrer Arbeit, indem sie ihre Ergebnisse mit den entsprechenden Ergebnissen der Finite-Elemente-Methode (FEM) und experimentellen Tests verglichen. Fares et al.10 verwendeten eine schichtweise Formulierung und analysierten die freie Schwingung mehrschichtiger CNT-verstärkter kegelstumpfförmiger Schalen. Sie überprüften die Abhängigkeit der Eigenfrequenzen von den Dickendehnungsdehnungen. Für verschiedene Randbedingungen wurden die Eigenfrequenzen kegelstumpfförmiger Schalen aus porösem Metallschaum von Li et al.11 berichtet. Sie untersuchten die Auswirkungen des Porositätsparameters und des Porendispersionsmusters auf die Eigenfrequenzen der Schale. Mithilfe von FEM analysierten Singha et al.12 die freie Schwingung rotierender, vorgedrehter konischer Sandwichschalen mit einem homogenen Kern und FG-Graphen-verstärkten Deckschichten in einer thermischen Umgebung. Sie untersuchten die Wirkung von Graphen-Verteilungsmustern auf Eigenfrequenzen. Adab et al.13,14 untersuchten das freie Schwingungsverhalten von nicht rotierenden und rotierenden kegelstumpfförmigen Sandwich-Mikroschalen mit einem FGP-Kern und GNP-verstärkten Deckschichten. Sie zeigten, dass die höchsten Eigenfrequenzen erreicht werden können, wenn sich die großen Poren nahe der mittleren Oberfläche der Mikroschale befinden. Nasution et al.15 gelang es, eine semianalytische Lösung für das Überschallflatterverhalten von dreiphasigen Polymer/GNP/Faser-laminierten verbundenen konisch-konischen Schalen zu finden. Sie kamen zu dem Schluss, dass die aeroelastische Stabilität und der Flattermodus solcher Strukturen leicht durch die Halbscheitelwinkel und Längen der Schalensegmente beeinflusst werden können.

Aufgrund einiger überlegener Eigenschaften wie geringer Dichte, hoher Energieverlustkapazität, geringer Wärmeleitfähigkeit und hoher Recyclingfähigkeit erfreuen sich poröse Materialien großes Interesse als technische Materialien in der Transportindustrie sowie im Maschinenbau, im Bauwesen und in der Luft- und Raumfahrttechnik16. Die porösen Materialien bestehen aus zwei Phasen: Die Hauptphase ist fest und die andere ist entweder Gas oder Flüssigkeit, die in der Natur beispielsweise in Staub-, Stein- und Holzschichten vorkommt17. Die ersten Untersuchungen zu den mechanischen Eigenschaften poröser Materialien wurden von Biot18,19,20,21 durchgeführt, als er die konstitutiven Beziehungen in porösen Medien vorschlug, die als Biots Theorie bekannt sind. Einige Autoren untersuchten die mechanische Analyse von Balken, Platten, Schalen und Paneelen aus porösen Materialien oder Sandwichstrukturen mit einem FGP-Kern. Leclaire et al.22 analysierten die Dynamik poröser Platten und untersuchten die Einflüsse des Porositätsparameters und der Kompressibilität der Porenflüssigkeit auf die Eigenfrequenzen einer solchen Platte. Kiani23 lieferte die dynamische Reaktion poröser Balken, die der Einwirkung einer sich bewegenden Last ausgesetzt sind. Er untersuchte den Einfluss der Geschwindigkeit der bewegten Last, des Längen-Dicken-Verhältnisses des Balkens und der Kompressibilität der Porenflüssigkeit auf die Schwingungsamplitude. Xiang et al.24 untersuchten das erzwungene Schwingungsverhalten dünner rechteckiger poröser Platten. Für verschiedene Anregungsarten, zwei ausgewählte Randbedingungen und zwei ausgewählte Porenverteilungsmuster lieferten sie die Schwingungsamplitudenantwort gegenüber der Anregungsfrequenz. Die mechanischen Knick-, statischen Biege- und freien Schwingungsanalysen von FG-porösen Trägern wurden von Fouda et al.25 untersucht. Sie schlugen zwei Modelle zur Berechnung der mechanischen Eigenschaften des porösen Balkens vor, darunter ein implizites und ein explizites Modell, und untersuchten die Abhängigkeiten der mechanischen Eigenschaften (statische Durchbiegung, Eigenfrequenzen und kritische Knicklast) vom Porositätsparameter. Mojahedin et al.26 untersuchten die thermoelastische Reaktion poröser Balken. Sie untersuchten die Abhängigkeit der thermoelastischen Eigenschaften solcher Balken von der Porenflüssigkeit. Eine genaue Lösung wurde von Nikkhoo et al.27 für die dynamische Reaktion von flexoporoelastischen Strukturen unter bewegten Lasten vorgestellt. Sie untersuchten die Einflüsse des Porositätsparameters, der Viskosität der Porenflüssigkeit, der Geschwindigkeit der bewegten Lasten und der Steifigkeit des Fundaments auf die dynamische Reaktion des Balkens. Enayat et al.28,29 untersuchten die mechanischen Knick-, statischen Biege- und freien Vibrationseigenschaften von porösen Nanostrahlen, die einer thermischen Belastung ausgesetzt waren. Sie zeigten, dass durch die Erhöhung des Porositätsparameters die statische Durchbiegung zunimmt und die kritische Knicklast abnimmt; Die Auswirkung des Porositätsparameters auf die Eigenfrequenzen hängt jedoch erheblich vom Porenverteilungsmuster ab. Das freie Schwingungs- und aeroelastische Stabilitätsverhalten von zylindrischen dicken Sandwichplatten mit gesättigtem FGP-Kern wurde von Akbari et al.30,31 untersucht. Sie zeigten, dass der höhere Porositätsparameter zu einer schwächeren aeroelastischen Stabilität der Platte führt. Das freie Schwingungs- und aeroelastische Stabilitätsverhalten von GNP-verstärkten porösen zylindrischen Platten wurde von Zhou et al.32 untersucht. Sie folgerten, dass die kritische Geschwindigkeit des Panels abnimmt, wenn der Porositätsparameter erhöht wird. Aufgrund der schwachen Wirkung der Porenflüssigkeit untersuchten viele Autoren die mechanische Analyse der FGP-Strukturen, indem sie die Porenflüssigkeit ignorierten. Beispielsweise konzentrierten sich Chen et al.33,34 auf das statische Biege- und mechanische Knickverhalten sowie die freien und erzwungenen Schwingungseigenschaften von FGP-Trägern. Sie untersuchten die Auswirkung des Porositätsparameters auf die statische und dynamische Durchbiegung, die kritische Knicklast und die Eigenfrequenzen der FGP-Träger. In einer anderen Arbeit untersuchten sie die statischen Biege- und mechanischen Knickanalysen einer neuartigen FGP-Platte35. Sie schlugen diesen neuartigen porösen Materialtyp vor, um eine gleichmäßige Spannungsverteilung über die Plattendicke zu erreichen.

Wie bereits erwähnt, werden konische Schalen in vielen Bereichen der Mechanik und der Luft- und Raumfahrt eingesetzt, beispielsweise in Hochgeschwindigkeits-Zentrifugalabscheidern, Gasturbinen und Hochleistungsflugzeugtriebwerken. Daher ist die Reduzierung des Gesamtgewichts solcher Strukturen ein interessantes technisches Problem. Dieses Ziel wird in dieser Arbeit durch den Einsatz poröser Materialien erreicht. Die obige Literaturübersicht bestätigt, dass in früheren Arbeiten die dynamischen Eigenschaften der konischen Schalen aus verschiedenen Materialtypen untersucht wurden, die Wirkung der mit Flüssigkeit gefüllten porösen Materialien als Kern in einer kegelstumpfförmigen Sandwich-Schale jedoch nicht untersucht wurde. Nach bestem Wissen des Autors ist die vorgestellte Arbeit der erste Versuch, die freie Schwingung von Sandwich-Kegelstumpfschalen mit zwei isotropen homogenen Deckschichten und einem gesättigten FGP-Kern zu analysieren. Untersucht werden die Abhängigkeiten der Eigenfrequenzen von der Umfangswellenzahl, den Randbedingungen, der Kompressibilität der Porenflüssigkeit, dem Porositätsverteilungsmuster, dem Porositätsparameter und der Dicke des FGP-Kerns.

Wie Abb. 1 zeigt, wird eine kegelstumpfförmige Sandwichschale mit der Dicke h, dem kleinen Radius a, der Länge L, dem Halbscheitelwinkel α und dem großen Radius b = a + Lsinα betrachtet. Die Schale besteht aus einem gesättigten FGP-Kern der Dicke hc und zwei gleichen homogenen isotropen Deckschichten der Dicke hf = 0,5(h − hc).

Eine kegelstumpfförmige Sandwichschale mit einem FGP-Kern.

Wie in Abb. 2 dargestellt, werden in dieser Arbeit drei verschiedene Porositätsverteilungsmuster für den Kern der Schale betrachtet, darunter eine gleichmäßige Porositätsverteilung (UD) und zwei ungleichmäßige Porositätsverteilungen (SI und SII). Der Elastizitätsmodul des FGP-Kerns variiert entlang der Dickenrichtung as36

wobei \(E_{0}\) der Elastizitätsmodul des Materials ohne Porosität ist und e0, e1 und e2 für die Porositätsparameter stehen.

Porositätsverteilungsmuster37.

Um einen fairen Vergleich zwischen diesen Porositätsverteilungsmustern zu ermöglichen, ist es besser, die Porositätsparameter so zu regulieren, dass der gleiche Massenwert entsteht. Unter Verwendung der folgenden Gleichung zwischen Dichte (ρ) und Elastizitätsmodul37

wobei ρ0 die Dichte des Materials ohne Porosität darstellt, kann man schreiben

Für einige Werte des Porositätsparameters e1 sind die entsprechenden Werte der Porositätsparameter e0 und e2 in Tabelle 1 zu finden und können näherungsweise wie folgt angegeben werden36:

Basierend auf Biots Poroelastizitätstheorie für isotrope poroelastische Medien werden die konstitutiven Beziehungen wie folgt angegeben16

wobei σij und εij nacheinander für die Spannungs- und Dehnungstensoren stehen und α0 der Biot-Koeffizient der effektiven Spannung ist. Außerdem repräsentieren G, λu, p, εkk und δij mit den folgenden Definitionen den Schermodul, den undrainierten Lame-Parameter, den Porenflüssigkeitsdruck, die volumetrische Dehnung und das Kronecker-Delta:

wobei ξ für die Variation des Flüssigkeitsvolumengehalts steht und νu und M nacheinander die undrainierte Poisson-Zahl und den Biot-Modul darstellen und wie folgt definiert sind:

Dabei ist B0 als Skempton-Koeffizient bekannt, der die Kompressibilität der Porenflüssigkeit angibt. Durch Erhöhen des Skempton-Koeffizienten von Null auf Eins verändert sich die Porenflüssigkeit von einer vollständig komprimierbaren Flüssigkeit zu einer nicht komprimierbaren Flüssigkeit.

Für den undrainierten Zustand (ξ = 0), die Annahme der ebenen Spannung (σzz = 0) und unter Verwendung der Gleichungen. (6) und (7), Gl. (5) kann in x-θ-z-Koordinaten wie folgt angegeben werden (γij = 2εij):

wobei ks = 5/6 als Schubkorrekturfaktor bekannt ist und

Für die Deckschichten (e1 = e2 = e3 = 0 und α0 = 0 und als Ergebnis νu = ν) gilt Gl. (9) kann wie folgt angegeben werden:

wobei der Index f die mechanischen Eigenschaften der isotropen homogenen Deckschichten darstellt.

Wie im FSDT angegeben, kann für das Verschiebungsfeld die folgende Beziehung verwendet werden38:

wobei u1, u2 und u3 nacheinander die Verschiebungskomponenten entlang der x-, θ- und z-Richtung sind; u, v und w zeigen die entsprechenden Verschiebungskomponenten an der Mittelfläche (z = 0); und φx und φθ stehen nacheinander für die Rotationen um die θ- und x-Achse.

Die Nicht-Null-Komponenten des Dehnungstensors (εij) können wie folgt dargestellt werden38:

Die maßgeblichen Gleichungen und Randbedingungen können mithilfe des Hamilton-Prinzips wie folgt abgeleitet werden39:

wobei [t1,t2] ein beliebiges Zeitintervall ist, δ den Variationsoperator angibt, T die kinetische Energie angibt, Us die Dehnungsenergie ist und Wn.c. steht für die von externen nichtkonservativen Lasten geleistete Arbeit.

Die kinetische Energie der Hülle kann wie folgt dargestellt werden:

Wo

wobei dS = rdxdθ die Oberfläche der Schale zeigt.

Gleichung (14) kann mit den Gleichungen dargestellt werden. (11) und (15) wie folgt:

Wo

Aufgrund der Symmetrie der Porenverteilungsmuster ist offensichtlich, dass I1 = 0, daher kann die Variation der kinetischen Energie der Schale wie folgt angegeben werden:

Die Variation der Dehnungsenergie der Schale kann wie folgt berechnet werden

was mit den Gleichungen dargestellt werden kann. (12) und (15) als

Wo

Durch Ersetzen der Gl. (8) und (12) in Gl. (21) kann die folgende Gleichung erreicht werden:

wobei (i,j = 1, 2, 6)

Aufgrund der Symmetrie in den Porenverteilungsmustern ist es offensichtlich, dass Bij = 0, folglich gilt Gl. (22) kann wie folgt vereinfacht werden:

Bei der freien Schwingungsanalyse wird die Schale keiner äußeren Belastung ausgesetzt (δWn.c. = 0); folglich durch Ersetzen der Gl. (18) und (20) in Gl. (13) kann der folgende Satz der maßgeblichen Gleichungen erreicht werden:

und die entsprechende Randbedingung kann wie folgt angegeben werden:

Durch Einsetzen von Gl. (24) in Gl. (25) und unter Verwendung der folgenden Lösung:

wobei ω ein Eigenwert und n die Umfangswellenzahl ist, kann der Satz der maßgeblichen Gleichungen wie folgt dargestellt werden:

wobei eine Primzahl die Ableitung in Bezug auf die räumliche Variable x angibt.

Ebenso durch Ersetzen von Gl. (24) und (27) in Gl. (26) können die Randbedingungen wie folgt angegeben werden:

Im aktuellen Abschnitt wird das DQM als allgemein anerkannter und bekannter numerischer Ansatz verwendet, um eine Näherungslösung für den Satz der maßgeblichen Gleichungen bereitzustellen. (28) mit einer beliebigen Kombination der Randbedingungen (29) an beiden Enden der Schale (x = 0,L). Basierend auf der Grundidee des DQM kann jede Ableitung einer Funktion wie P(x) anhand der gewichteten Summe ihrer Werte an einer Reihe von Gitterpunkten wie folgt geschätzt werden:

wobei [F(k)] die Gewichtungskoeffizientenmatrix in Bezug auf die Ableitung k-ter Ordnung genannt wird und wie folgt dargestellt wird40:

Das Verteilungsmuster der Gitterpunkte spielt eine wichtige Rolle für die Konvergenz der Lösung im DQM. Mit der folgenden Definition für 0 ≤ x ≤ L wird in dieser Arbeit das Gauß-Lobatto-Chebyshev-Verteilungsmuster verwendet40:

Durch Anwendung von Gl. (30) und die folgende Notation:

die maßgeblichen Gl. (28) lässt sich wie folgt formulieren:

Wo

wobei [a1] und [a2] zwei Diagonalmatrizen sind, die wie folgt definiert sind:

Durch Anwendung der Gl. (30) und (32) zu Gl. (29) können die Randbedingungen wie folgt dargestellt werden:

Wo

wobei Γ11 − Γ55 mit der Bedingung bei x = 0 und Γ61 − Γ105 mit der Bedingung bei x = L verbunden sind.

Für eine kegelstumpfförmige Schale, die am kleinen Radius (x = 0) eingespannt und am großen Radius (x = L) einfach gestützt wird, was in dieser Arbeit mit „CS“ bezeichnet wird, werden Γ11 − Γ105 wie folgt dargestellt:

wobei die Indizes 1 und N jeweils für die erste und letzte Zeile jeder Matrix stehen.

Simultane Lösungen der Gl. (34) und (37) erzeugen eine Ungleichheit zwischen den Nummern der Gleichungen und unbekannten Variablen (nichtquadratische Matrizen in der endgültigen Eigenwertgleichung)38. Um diese Ungleichheit zu beseitigen, teilen wir die Gitterpunkte in zwei Mengen auf: die Randpunkte (x1 und xN) und die Domänenpunkte (x2, x3,…, xN−2, xN−1). Unter Vernachlässigung der Erfüllung der maßgeblichen Gleichungen an den Grenzpunkten gilt Gl. (34) kann wie folgt dargestellt werden:

wobei das Zeichen ~ verwendet wird, um die erstellten nichtquadratischen Matrizen anzuzeigen.

Offensichtlich verringert sich die Genauigkeit der Lösung, wenn die Erfüllung der maßgeblichen Gleichungen an den Randpunkten ignoriert wird. Im Gauß-Lobatto-Tschebyscheff-Verteilungsmuster (Gl. (32)) gibt es jedoch eine Anhäufung der Punkte an zwei Enden des Bereichs, der die Randpunkte enthält. Folglich nimmt der Nebeneffekt der oben genannten Annahme drastisch ab38,41.

Durch die Partitionierung der Matrizen zur Trennung der Spalten, die den Grenz- und Domänenpunkten zugeordnet sind, ergeben sich die Gleichungen. (37) und (40) können wie folgt dargestellt werden:

wobei die Indizes „b“ und „d“ jeweils die Grenz- und Domänenpunkte anzeigen. Durch Einsetzen von Gl. (42) in Gl. (41) kann die folgende Eigenwertgleichung erhalten werden:

in welchem

Lösen von Gl. (43) ergibt die Eigenfrequenzen (ω) der Schale. Die Eigenfrequenzen in verschiedenen Schwingungsmoden werden mit ωnm bezeichnet, wobei der erste Index (n) die Umfangswellenzahl (Gl. (27)) ist und der zweite Index (m) zur Angabe der meridionalen Modenzahl verwendet wird. Außerdem wird in diesem Artikel die folgende Definition verwendet, um die Eigenfrequenzen in dimensionsloser Form darzustellen:

wobei ρf und Ef nacheinander für die Dichte und den Elastizitätsmodul der Deckschichten stehen.

In diesem Teil der Arbeit werden numerische Ergebnisse für die vorgestellte Lösung bereitgestellt. Im Folgenden wird, sofern nicht ausdrücklich anders angegeben, eine CS-Kegelschale mit den geometrischen Eigenschaften a = 0,5 m, α = 45°, h/a = 0,1, L/a = 4 und hc/h = 0,5 betrachtet. Die Schale besteht aus einem FGP-Kern mit dem Verteilungsmuster SI, e1 = 0,5 und B0 = 0,5. Die mechanischen Eigenschaften des FGP-Kerns sind ρ0 = 2700 kg/m3, ν = 0,25, E0 = 60 GPa und α0 = 0,1916,42 und die der Deckschichten sind ρf =2707 kg/m3, νf =0,3 und Ef =70 GPa.

Die Konvergenzanalyse der vorgestellten Lösung wird in Abb. 3 für einige Schwingungsmoden untersucht. Diese Abbildung zeigt, dass mit zunehmender Anzahl der Gitterpunkte (N in den Gleichungen (30)–(32)) die Werte der Eigenfrequenzen schnell konvergieren, was die in meridionaler Richtung durchgeführte Konvergenzanalyse der numerischen Lösung bestätigt. Im Folgenden werden Zahlenbeispiele für N = 11 vorgestellt.

Konvergenzanalyse der vorgestellten Lösung.

Um die Genauigkeit der vorgestellten Lösung zu überprüfen, werden in diesem Abschnitt zwei Beispiele bereitgestellt. Betrachten Sie als erstes Beispiel eine isotrope homogene (ν = 0,3) kegelstumpfförmige Schale mit α = 45°, Lsinα/b = 0,5 und h/b = 0,01. Für m = 1 und verschiedene Werte der Umfangswellenzahl sind in Tabelle 2 dimensionslose Eigenfrequenzen (Ωnm = ωnmb[ρ(1 − ν2)/E]0,5) im Vergleich zu denen von Liew et al.43 aufgeführt. Wie aus dieser Tabelle hervorgeht, weisen die Ergebnisse eine hohe Übereinstimmung auf, was die Präzision der vorgestellten Lösung bestätigt.

Betrachten Sie als zweites Beispiel eine SS-isotrope homogene konische Schale (ν = 0,3) mit Lsinα/b = 0,25 und h/b = 0,01. Für zwei ausgewählte Werte des Halbscheitelwinkels und verschiedene Werte der Umfangswellenzahl (n = 1,2,..,9) sind die dimensionslosen Eigenfrequenzen der Schale (Ωnm = ωnmb[ρ(1 − ν2)/ E]0,5) werden für m = 1 in Tabelle 3 im Vergleich zu denen von Dai et al.44 dargestellt. Diese Tabelle bestätigt, dass die Ergebnisse gut übereinstimmen, was die Präzision der präsentierten numerischen Lösung bestätigt.

Die Abhängigkeit der Eigenfrequenzen der Schale von der Umfangswellenzahl wird in Abb. 4 untersucht. Wie diese Abbildung zeigt, erfahren die Eigenfrequenzen durch Erhöhung der Umfangswellenzahl zunächst eine Verringerung, gefolgt von einem zunehmenden Wachstum. Mit anderen Worten: Es gibt einen speziellen Wert der Umfangswellenzahl, der die niedrigste Eigenfrequenz liefert (die Grundfrequenz λn1). Mit zunehmender Umfangswellenzahl erfährt die Schale in Umfangsrichtung verschiedene Formen harmonischer Funktionen (Sinus oder Cosinus). Abhängig von den geometrischen Parametern der Schale, den Randbedingungen und der meridionalen Modenzahl (m) gibt es eine bestimmte Form der Schale in der Umfangsrichtung, verbunden mit einem bestimmten Wert der Umfangswellenzahl, der für die minimale Steifigkeit sorgt und folglich die minimale Eigenfrequenz.

Abhängigkeit der Eigenfrequenzen von der Umfangswellenzahl.

Tabelle 4 zeigt die Einflüsse der Randbedingungen auf die Eigenfrequenzen der Schale. Wie beobachtet, gehört die höchste Eigenfrequenz bei jedem Schwingungsmodus zur CC-Schale, was bedeutet, dass die engeren Grenzen zu höheren Eigenfrequenzen führen. Dies kann durch die höhere Steifigkeit der Schale unter CC-Randbedingungen erklärt werden. Ein Vergleich zwischen den CS-, SC- und FC-Schalen zeigt, dass die Eigenfrequenzen der SC-Schale größer sind als die entsprechenden der CS-Schale und dass in einigen Schwingungsmodi die Eigenfrequenz der FC-Schale größer ist als die Eigenfrequenz von das CS-Modell. Dies bedeutet, dass die Randbedingung bei x = L (der große Radius der Schale) einen stärkeren Einfluss auf die Eigenfrequenzen der Kegelschalen hat als die Randbedingung bei x = 0 (der kleine Radius der Schale). Dies kann durch den größeren Umfang des Schalenrandes an seinem großen Radius im Vergleich zum kleinen erklärt werden.

Tabelle 5 dient zur Untersuchung der Auswirkung des Porenverteilungsmusters auf die Eigenfrequenzen der Schale. Wie diese Tabelle zeigt, gehört in den meisten Schwingungsmoden die höchste Eigenfrequenz zum SI-Muster. Wie in Abb. 2 dargestellt, sind im SI-Muster die großen Poren nahe der neutralen Oberfläche (SI) der Schale verteilt, was zu einer minimalen Verringerung der Biegesteifigkeit der Schale führt. Bemerkenswert ist, dass neben der Biegesteifigkeit auch die Rotationsträgheit (I2 in Gleichung (17)) durch das Porenverteilungsmuster beeinflusst werden kann. Folglich gehört in einigen Fällen die höchste Eigenfrequenz zu dem SII-Muster, das die minimale Rotationsträgheit aufweist.

Die Abhängigkeit der Eigenfrequenzen der Schale vom Porositätsparameter wird in Abb. 5 untersucht. Durch die Vergrößerung des Porositätsparameters nimmt die Größe der Pore zu, was sowohl die Steifigkeit als auch die Trägheit der Schale verringert. Folglich ist mit zunehmendem Porositätsparameter je nach Schwingungsmodus entweder eine Zunahme oder eine Abnahme der Eigenfrequenz zu beobachten. Wie in dieser Abbildung gezeigt, hat eine Erhöhung des Porositätsparameters aufgrund des Gegensatzes zwischen der Verringerung der Steifigkeit und der Trägheit der Schale keine nennenswerten Auswirkungen auf die Eigenfrequenzen. Um es zu ermöglichen, die kleinen Variationen der Eigenfrequenzen in verschiedenen Schwingungsmoden gleichzeitig darzustellen, wird der folgende Frequenzparameter definiert:

Abhängigkeit der Eigenfrequenzen vom Porositätsparameter.

Abbildung 5 bestätigt, dass für (n,m) = 1, 2, 3, 4 durch Erhöhung des Porositätsparameters von Null auf e1 = 0,6 die maximale Verringerung und Erhöhung der Eigenfrequenzen weniger als 5 % bzw. 1,5 % beträgt .

Für einen bestimmten Wert der Schalendicke zeigt Abb. 6 die Auswirkung der Dicke des FGP-Kerns auf die Eigenfrequenzen der Schale. Durch die Erhöhung der Dicke des FGP-Kerns verringern sich sowohl die Trägheit als auch die Steifigkeit der Schale. Wenn also die Dicke des FGP-Kerns zunimmt, ist je nach Schwingungsmodus entweder eine Zunahme oder eine Abnahme der Eigenfrequenz zu beobachten.

Abhängigkeit der Eigenfrequenzen von der Dicke des FGP-Kerns.

Wie diese Abbildung zeigt, hat eine Erhöhung der Schalendicke aufgrund des Zusammenspiels zwischen der Verringerung der Trägheit und der Steifigkeit der Schale keinen nennenswerten Einfluss auf die Eigenfrequenzen. Um die kleinen Variationen der Eigenfrequenzen in verschiedenen Schwingungsmoden gleichzeitig darstellen zu können, wird der Frequenzparameter daher wie folgt definiert:

Abbildung 6 zeigt, dass für (n,m) = 1,2,3,4 durch Erhöhung der Dicke des FGP-Kerns von Null auf 0,8 h die maximale Reduzierung der Eigenfrequenzen weniger als 12 % beträgt.

Abbildung 7 soll die Auswirkung der Kompressibilität der Porenflüssigkeit auf die Eigenfrequenzen der Schale untersuchen. Wie beobachtet, kommt es durch die Erhöhung des Skempton-Parameters (Verringerung der Kompressibilität der Porenflüssigkeit) zu einem kleinen Anstieg der Eigenfrequenzen, der durch den geringen Anstieg der Steifigkeit der Schale erklärt werden kann. Wie diese Abbildung zeigt, wird für (n,m) = 1, 2, 3, 4 durch Erhöhen des Skempton-Parameters vom minimal möglichen Wert (B0 = 0) auf den maximal möglichen Wert (B0 = 1) der maximale Anstieg erreicht Die Eigenfrequenzen betragen weniger als 1 %.

Abhängigkeit der Eigenfrequenzen von der Kompressibilität der Porenflüssigkeit.

Es ist zu beachten, dass aufgrund der schwachen Wirkung der Kompressibilität der Porenflüssigkeit auf die Eigenfrequenzen der Frequenzparameter wie folgt definiert ist, um die kleinen Variationen der Eigenfrequenzen in verschiedenen Schwingungsmoden gleichzeitig darstellen zu können:

Die freie Schwingungsanalyse einer kegelstumpfförmigen Sandwichschale mit einem gesättigten FGP-Kern und zwei gleichen homogenen isotropen Deckschichten wurde untersucht. Das mechanische Verhalten des gesättigten FGP-Kerns und die mathematische Modellierung der Schale wurden auf der Grundlage der Biot-Theorie bzw. des FSDT durchgeführt. Es wurden drei verschiedene Verteilungsmuster der Poren untersucht, darunter ein gleichmäßiges Verteilungsmuster und zwei inhomogene symmetrische. Die wichtigsten Ergebnisse des Papiers können wie folgt aufgeführt werden:

Die engeren Grenzen an den Enden der Schale führen zu höheren Eigenfrequenzen.

Die Randbedingung beim großen Radius der Schale hat einen stärkeren Einfluss auf die Eigenfrequenzen der Kegelschalen als die Randbedingung beim kleinen Radius der Schale.

Wenn sich die größeren Poren nahe der neutralen Oberfläche der Schale befinden, werden die Eigenfrequenzen größer.

Durch Erhöhen des Porositätsparameters und der Dicke des FGP-Kerns kann entweder ein Wachstum oder eine Verringerung der Eigenfrequenz beobachtet werden. Es kommt auf den Schwingungsmodus an.

Die geringere Kompressibilität der Porenflüssigkeit führt zu höheren Eigenfrequenzen. Der maximale Anstieg beträgt jedoch weniger als 1 %.

Sofiyev, A. Zum Schwingungs- und Stabilitätsverhalten heterogener CNTRC-Kegelstumpfschalen unter axialer Belastung im Kontext von FSDT. Dünnwandige Struktur. 151, 106747 (2020).

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Mohsen Nasr Esfahani, Mohammad Hashemian und Farshid Aghadavoudi

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Diese Studie basiert auf der MSC-Dissertation von MNEMH und FA, die jeweils der Betreuer und Berater dieser Studie waren.

Korrespondenz mit Mohammad Hashemian.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Nasr Esfahani, M., Hashemian, M. & Aghadavoudi, F. Die Vibrationsstudie einer Sandwich-Konusschale mit einem gesättigten FGP-Kern. Sci Rep 12, 4950 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-09043-w

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Eingegangen: 29. November 2021

Angenommen: 16. März 2022

Veröffentlicht: 23. März 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-09043-w

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